公共教育学院(马克思主义学院)

《概率论与数理统计》复习重点

  1. 随机事件与概率

1.事件的关系   

2.运算规则 (1

2

3

4

3.概率满足的三条公理及性质:

1  (2

3)对互不相容的事件,有 (可以取

4   (5

6,若,则

7

8

4.古典概型:基本事件有限且等可能

5.几何概率

6.条件概率

  1. 定义:若,则

  2. 乘法公式:

为完备事件组,,则有

  1. 全概率公式:

  2. Bayes公式:

7.事件的独立性: 独立  (注意独立性的应用)

第二章 随机变量与概率分布

  1. 离散随机变量:取有限或可列个值,满足(1,(2=1

3)对任意

  1. 连续随机变量:具有概率密度函数,满足(1

2;(3)对任意

  1. 几个常用随机变量

    名称与记号

    分布列或密度

    数学期望

    方差

    两点分布

    二项式分布

    Poisson分布

    几何分布

    均匀分布

    指数分布

    正态分布

  2. 分布函数   ,具有以下性质

1;(2)单调非降;(3)右连续;

4,特别

5)对离散随机变量,

6)对连续随机变量,为连续函数,且在连续点上,

  1. 正态分布的概率计算  以记标准正态分布的分布函数,则有

1;(2;(3)若,则

4)以记标准正态分布的上侧分位数,则

  1. 随机变量的函数   

1)离散时,求的值,将相同的概率相加;

2连续,的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则,若不单调,先求分布函数,再求导。

第三章 随机向量

  1. 二维离散随机向量,联合分布列,边缘分布列

1;(2;(3

  1. 二维连续随机向量,联合密度,边缘密度,有

1;(2;(3

4

  1. 二维均匀分布,其中的面积

  2. 二维正态分布,其密度函数(牢记五个参数的含义)

  3. 二维随机向量的分布函数

1)关于单调非降;(2)关于右连续;

3

4

5

6)对二维连续随机向量,

6.随机变量的独立性   独立

  1. 离散时 独立

  2. 连续时 独立

  3. 二维正态分布独立,且

7.随机变量的函数分布

  1. 和的分布    的密度

  2. 最大最小分布

第四章 随机变量的数字特征

1.期望

(1)离散时  ;

(2)连续时

(3)二维时

(4);(5

6

7独立时,

2.方差

1)方差,标准差

2

3

4独立时,

3.协方差

1

2

3

4时,称不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价;

5

4.相关系数    ;有

5 阶原点矩 阶中心矩

第五章 大数定律与中心极限定理

1Chebyshev不等式    或

2.大数定律

3.中心极限定理   

1)设随机变量独立同分布,则, 或   或

2)设次独立重复试验中发生的次数,,则对任意,有或理解为若,则

第六章 样本及抽样分布

1.总体、样本

  1. 简单随机样本:即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法);

  2. 样本数字特征:

样本均值);

样本方差)样本标准差

样本阶原点矩,样本阶中心矩

2.统计量:样本的函数且不包含任何未知数

3.三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)

1分布 ,其中独立同分布于标准正态分布,若且独立,则

2分布 ,其中且独立;

3分布 ,其中且独立,有下面的性质   

4.正态总体的抽样分布

1;     (2

3且与独立;    4

5

6

第七章 参数估计

1.矩估计:

1)根据参数个数求总体的矩;(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计

2.极大似然估计:

1)写出极大似然函数;(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数;(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到(1)直接求最大值,一般为minmax

3.估计量的评选原则

(1)无偏性:若,则为无偏; (2)有效性:两个无偏估计中方差小的有效;

4.参数的区间估计(正态)

参数

条件

估计函数

置信区间

已知

未知

未知


7


 

 

 

 

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